Як побудувати вектор?

Як побудувати вектор?

ЛІНІЙНО ЗОВСІМ І ЛІНІЙНО НЕЗАЛЕЖНІ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ. Лінійною комбінацією, де — деякі числа. Числа називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Кажуть також, що в цьому випадку, тобто виходить з них за допомогою лінійних дій. Наприклад, якщо дані три вектора

Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами. називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа, що не всі рівні нулю, що. Ясно, що задані вектори будуть лінійно залежними, якщо який-небудь з цих векторів лінійно виражається через інші.

В іншому випадку, тобто коли співвідношення, ці вектори називаються лінійно незалежними. Теорема 1. Будь-які два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні. Дійсно, нехай маємо два колінеарних вектора.

Тоді або обидва вони рівні нулю, і отже, будь-яка їх лінійна комбінація, або один з них не нуль, тоді іншої відрізняється від нього на числовий множник, наприклад,. Але звідси, а це і означає лінійну залежність векторів. Доведемо зворотне, тобто якщо два вектори лінійно залежні, то вони колінеарні.

Нехай вектори лінійно залежні. Тоді знайдуться числа такі, що, причому, наприклад, 0. Тоді, тобто вектори колінеарні. Таким чином, теорема стверджує, що лінійно незалежними на площині можуть бути тільки ті вектори, які неколінеарна. Аналогічно можна довести наступну теорему.

Теорема 2. Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні. лінійно залежні, тобто, де, наприклад, 0. Тоді. до одного початку і проведемо через них площину. Тоді будуть лежати в тій же площині, а тому й їх сума, тобто буде лежати в тій же площині, тобто компланарні. компланарні. Тоді вони будуть лежати в одній площині.

Віднесемо всі три вектора до одного початку. НЕ колінеарні, то очевидно, вектор. Дійсно з малюнка видно, що, де, а значить знайдуться числа такі, що. , То один з них лінійно виражений через інший, тобто Що й потрібно було довести. Таким чином, три некомпланарних вектора завжди лінійно незалежні. Крім того, можна показати, що кожні чотири вектори лінійно залежні. БАЗИС Базисом називається сукупність відмінних від нулів лінійно незалежних векторів.

Елементи базису будемо позначати. У попередньому пункті ми бачили, що два неколінеарних вектора на площині лінійно незалежні. Тому згідно теоремі 1, з попереднього пункту, базисом на площині є будь-які два неколінеарних вектора на цій площині.

Аналогічно в просторі лінійно незалежні будь-які три некомпланарних вектора. Отже, базисом у просторі назвемо три некомпланарних вектора. Справедливо наступне твердження. Теорема. Тоді будь-який вектор, де x, y, z деякі числа.

Таке розкладання єдино. Доведемо спочатку існування такого подання. Припустимо, що коллінеарен-якого з векторів базису, наприклад,. Тоді по доведеному вище. Отже, де x = l, y = z = 0. компланарен з якою-небудь парою базисних векторів, наприклад, с. Відкладемо три вектора від однієї точки

O. Через точку A проведемо прямі, паралельні векторам.

Тоді, причому вектори. Тому знайдуться числа x і y такі, що, а значить. некомпланарен ні з однією парою базисних векторів. Відкладемо пряму, паралельну вектору. Вона перетне площину в точці. Очевидно, що.

Але вектор, отже, по доведеному вище, а вектор, тому. Таким чином,. Доведемо тепер єдиність такого подання. Припустимо, що можливі два подання вектора. Причому, наприклад,. Тоді повинні мати, тому що інакше ми мали б дві прямі, що проходять через точку.

З останнього рівності випливає, що. Отримали протиріччя з нашим припущенням, що й доводить теорему. на площині, то будь-який вектор, компланарності з векторами, причому таке розкладання єдино.

Таким чином, базис дозволяє однозначно зіставити кожному вектору трійку чисел коефіцієнти розкладання цього вектора по векторах базису. Вірно і зворотне, кожній трійці чисел x, y, z за допомогою базису можна зіставити вектор, якщо скласти лінійну комбінацію.

, то числа x, y, z називаються координатами в даному базисі. Координати вектора. Декартовій системі координат напрямні косинуси ВЕКТОРА.

Напрямок вектора в просторі визначається кутами, які вектор становить з осями координат. Косинуси цих кутів cos, cos, cos називаються напрямними косинусами вектора. Знайдемо вираз для напрямних косинусів вектора. , Звідки. Нескладно показати, що.

Направляючі косинуси вектора повністю визначають його напрямок, але нічого не говорять про його довжині.

Як побудувати вектор?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Комментарии закрыты