Як вирішувати модулі?

Як вирішувати модулі?

Найбільш часто використовуваний спосіб вирішення завдань з модулем полягає в тому, що модуль розкривається на підставі визначення. Для цього знаходимо, при яких значеннях змінної вираз, що стоїть під модулем, неотрицательно, а за яких негативно.

Розглянемо цей метод на прикладах. Приклад 1. Рішення. , Тобто (вираз під модулем неотрицательно). Рівняння в цьому випадку приймає вид, його рішення.

Це рішення задовольняє умові. Таким чином, корінь вихідного рівняння. , То є. У цьому випадку рівняння перетвориться до виду, його рішення. Цей корінь не задовольняє умові, таким чином, не є коренем вихідного рівняння. Відповідь.

Приклад 2. Рішення. Це. Отже, умова, а умова. Розглянемо два випадки: 1).

З них тільки потрапляє під наш випадок. Доведемо це:, то, і, дійсно,. Для доказу лівої частини подвійного нерівності зведемо його в квадрат (це можна зробити, оскільки обидві частини нерівності невід’ємні):, остання нерівність також виконується, і корінь сторонній. З очевидною ланцюжка нерівностей випливає, що є коренем рівняння. 2). , І від вихідного рівняння ми переходимо до рівняння. Рішення цього рівняння.

З них тільки число сторонній. Відповідь. Зауваження. Тут описаний стандартний прийом, завжди приводить до мети. Однак, як мені абсолютно справедливо вказали в коментарях Nynko і Талгат, існують і більш прості способи вирішення даного прикладу.

Ось що пропонує Nynko. Потрібно вирішити еквівалентну сукупність систем. , Що набагато простіше. Якщо під модулем коштує більше просте вираження, ніж вираз в правій частині, то потрібно застосовувати метод, описаний у прикладі 2. Приклад 3. Рішення.

Коріння виразів, що стоять під модулем,. Числова вісь розбивається точками на три проміжку, зображених на рис. 12: Розглянемо кожен з цих випадків. 1). Оскільки обидва вирази, які стоять під модулем, ненегативні на розглянутому проміжку, вихідне рівняння перетвориться до виду.

Рішення цього рівняння. Цей корінь потрапляє на проміжок і тому є рішенням вихідного рівняння. 2). Оскільки перше вираз, що стоїть під модулем, позитивно, а другий негативно на розглянутому проміжку, то вихідне рівняння перетвориться до виду. Рішення цього рівняння.

Оскільки, то цей корінь — сторонній. 3). Оскільки обидва вирази, які стоять під модулем, негативні на розглянутому проміжку, вихідне рівняння перетвориться до виду. Рішення цього рівняння. Цей корінь належить проміжку і є рішенням вихідного рівняння.

Відповідь. Приклад 4. Рішення. Для вирішення цього рівняння розкриємо модулі, починаючи з внутрішнього. Розглянемо два випадки:

1) і 2). 1), і вихідне рівняння перетвориться до виду. Вирішуючи це рівняння, отримуємо коріння.

2). Отримуємо рівняння, яке рішень не має. Відповідь.

Приклад 5. Рішення. ,. Таким чином,. Оскільки відстань між точками, то будь-яка точка, що на числовій осі між точками, задовольняє умові. Точок, що лежать поза відрізка, що задовольняють умові, не існує, оскільки.

Відповідь. Завдання. Вирішіть рівняння: 1. 2. 3. 4.

Як вирішувати модулі?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Комментарии закрыты